2D Transforms

Transform in Scale

对于二维平面上的一个点, 将向量变换成原来的倍，只需要左乘缩放矩阵：

非均匀缩放：如果对坐标轴上缩放不同比例，只需调整为

关于轴的镜像

Shear Matrix:

竖直方向上移动为0，水平方向的移动;

效果如下

Transform: Rotate

旋转默认绕原点逆时针旋转

旋转矩阵如下：

不难观察到，换句话说旋转矩阵是正交矩阵；

对于一般的旋转矩阵也有旋转矩阵的逆即为其转置；

旋转效果如下：

Liner Transforms

对于线性变换

我们只需要左乘一个相同维度的矩阵

为进一步描述平移变换，只需要进一步加上平移量

为进一步描述仿射变换(Affine Transform)

但是这个就不属于线性变化的范畴了,为此我们引入齐次坐标，基于向量的平移不变性，增加一个维度;

一个理解是

vector + vector = vector point - point = vector point + vector = point point + point = ?

在齐次坐标下，将三维点看作二维向量

那么在齐次坐标的观点下，点+点的结果是线段的中点；

平移变换可以表示如下

仿射变换可以表示如下

Affine Transformation

在齐次坐标下，这些特殊的仿射变换可以左乘如下矩阵，表达如下：

缩放Scale

旋转Rotate

平移Translation

Inverse Transform

在数学上，逆变换等价于左乘变换矩阵的逆矩阵；

Composite Transform

复杂的变换可以通过简单的变换相乘得到；

乘法的顺序很重要，因为矩阵乘法不满足交换律；

对于仿射变换矩阵从右到左运用以下矩阵，根据结合律，可以先将所有矩阵合成为一个最终矩阵；

反过来也可以将复杂矩阵进行分解，下图是沿任意点旋转的过程

Transform in 3D

试图引入齐次坐标

3D Point =

3D vector =

几乎和2D版本同理，仿射变换如下：

具体来说，

缩放变换

平移变换

旋转变换(分别从x,y,z轴旋转),注意轮换对称性

对于任意旋转，写成三个欧拉角对应的绕轴旋转

对于一个旋转轴和一个旋转角,这条旋转轴默认过原点，以下是Rodrigues旋转公式

对于将三维模型转化成二维图片，应该经过如下mvp变换

• model transformation
• view transformation
• projection transformation

视图变换

相机应该有如下属性,如下图所示

• position

• gaze direction

• up direction

在观察相机和背景进行着相同的相对运动时，得出的视图可能完全一样，我们约定相机永远在原点，沿着z轴看，头顶为y轴，这是相机的标准位置；

将任意摆放的相机平移到标准位置，需要经历以下步骤，那么这些步骤相乘对应的逆矩阵就是视图矩阵;

• 将平移到原点
• 旋转和y轴正方向同向
• 旋转和x轴正方向同向

由此写出视图矩阵

思考的逆，即将旋转到,将旋转到,结合旋转矩阵的逆等于其转置，如下

相机和物品应该要运用相同的视图矩阵，所以模型变换和视图变换其实相同，也统称为魔模型视图变换；

投影变换

投影变换分为

• 正交投影Orthographic projection:常用于工程制图，相机在无限远处
• 透视投影Perspective projection：常用于美术，有近大远小的成像原理

Orthographic Projection

一般来说，我们将空间中方体,可以映射为标准立方体(canonical cube),这需要先进行平移再缩放即可，如下：

Perspective Projection

对于透视变换，我们划归成正交投影变换问题：也就是规定一个近平面Near clip plane和一个远平面Far clip plane,其中两个面中心被相机正对着，满足以下性质

• 运用矩阵后，近平面上点保持不动
• 运用矩阵后，远平面上的点分量z保持不变
• 运用矩阵后，原平面中心点保持不变

这样我们将两个面上的物品大小变得完全一样，可以直接运用正交投影变换，也就是

以下是变换矩阵的推导：

对于空间任意一个点,和透视点和近平面满足某种相似三角形的特性，假设这个点被映射到近平面上的点

在齐次坐标的假设下，这个点等价于;

变换矩阵应该具有如此形式,才能满足

结合近平面方程和远平面方程，我们有

最终透视变换的矩阵如下：

思考：可以注意到，对于近平面和原平面之间的点，运用后值变得更大也就是更靠近远平面了，数学上来说;