集合基础

集合（set）由指定范围内的某些特定对象聚集在一起构成;

指定范围内的每一个对象称为这个集合的元素(element)。

通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素;

集合的三大特征：互异性，确定性，无序性；

描述集合的方法：

  • 枚举法：＝，，，
  • 隐式法（叙述法）:＝
  • 归纳法 : 基础+归纳+极小性(指出集合的界限)；
  • 递归指定：通过计算规则定义集合中的元素
  • 文氏图：一般用平面上的圆形或方形表示一个集合，而集合中的元素用小圆点来表示。

集合和元素的关系

  • 属于集合，记为;
  • 不属于集合，记为;

不含任何元素的集合称作空集，记作​;

外延性原理：＝当且仅当与具有相同的元素，否则，​。

集合和集合的关系：

  • 包含关系：对任意，如，则;
  • 相等：，
  • 真包含关系：对任意，如，则,并且，，但是

空集是一切集合的子集,是绝对唯一的；

全集是指在一个相对固定的范围内，包含此范围内所有元素的集合，是相对唯一的，

基数：集合中元素的数目称为集合的基数（base number)，记为​;

根据基数是否有限可以将集合分为有限集和无限集；

把的所有不同子集构成的集合叫做的幂集(power set)，记为或;其符号化表示为

＝

设，是两个集合，若在，之间存在一一映射的关系：

：

则称与是等势的(equipotential)，记为：

凡是与自然数集合等势的集合，统称为可数集合,基数记作；

  • 有理数集合必是可数集合;
  • 两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数；
  • 有限集合不和其任何真子集等势；
  • 可数集合可以和其可数的真子集等势。

开区间称为不可数集合,基数记作​;

  • 凡是与开区间(0,1)等势的集合都是不可数集合;
  • 是一个不可数集合

集合恒等式

  1. 等幂律:；；

  2. 交换律:

  3. 结合律:；；

  4. 恒等律:；；

  5. 零律:；；

  6. 分配律:

  7. 吸收律:；

  8. ；

  9. ；

  10. ；

  11. ；

  12. ；

  13. 否定律： ；

  14. DeMorgan律：；

  15. 矛盾律： ＝；

  16. 排中律：＝。