平稳白噪声序列

设为一列两两互不相关的随机变量序列，满足,且

当当

  • 白噪声序列为平稳的.

    这是因为协方差函数 只与有关

滑动平均序列

设为 一 列 互 不 相 关 的 且 有 相 同 均 值 和方差的平稳白噪声序列。

设为任意个实数。如下滑动平均序列具有平稳性：

对于均值,保持不变：

协方差

滑动平均序列均值具有遍历性,这是因为是固定的数，

Fix-Neyman(1951)疾病、死亡模型

考虑一个包含两个健康状态以及两个死亡状态 (即由不同原因引起的死亡)的模型。若个体病愈，则认为它处于状态,若它患病，则它处于,个体可以从进入和, 易见这是一个马氏链的模型，转移矩阵为

离散排队系统

考虑顾客到达一服务台排队等待服务的情况。若服务台前至少有一顾客等待，则在一单位时间周期内，服务员完成一个顾客的服务后，该顾客立即离去；若服务台前没有顾客，则服务员空闲。在一个服务周期内，顾客可以到达，设第个周期到达的顾客数是一个取值为非负整数的随机变量，且相互独立 同分布。

设为第个周期开始时服务台前的等待服务的顾客数，验 证是链并写出转移概率。

M/G/1排队系统

在排队系统中，表示顾客到达服务台的时间间隔，假设为独立同分布，概率密度为 若服务员空闲，则顾客立刻就能得到服务，否则就需要等待排队。表示每位顾客的服务时间，假设为独立同指数分布(参数为λ),且与顾客到达过程相互独立。数字1表示只有1名服务员。 设表示第位顾客到达服务台时系统内的顾客数(包括该顾 客)、验证是链并写出转移概率。

(s, S)备货策略

设某商店使用备货策略，每天早上检查某商品的剩余量， 设为,定购额为

若若

设定货和进货不需要时间，每天的需求量独立同分布 且.设为第天结束时的存货量， 验证是链并写出转移概率。

分支过程

考虑一个能产生同类后代的个体组成的群体.每一个体生命结束时以概率产生了个新的后代，与别的个体产生的后代个数相互独立.

初始的个体数以表示，称为第零代的总数；第零代的后代构成第一代，其总数记为,第一代的每个个体以同样的分布产生第二代，.一般地，以记第代的总数.

此Markov链 称 为 分 支 过 程 .

现在假设群体是从单个祖先开始的，即,则 有

其中表示第代的第个成员的后代的个数。

  1. 第代的平均个体数

    其中表示每个个体的后代个数的均值，从而可以看出，若，则平均个体数单调下降趋于0.若时，各代平均个体数相同.当​时，平均个体数按指数阶上升至无穷.

    直觉上看家族消亡和有关.

  2. 考虑群体最终会消亡的概率, 设, 则

    由的表达式 知它是直线和曲线交点的横坐标，显然(1,1)是一个交点.

    • 当时，是 一 条 直 线 ,方程只有唯一解,家族必定消亡,此时

    • 当时，由于

      可见是 单 调 增 加 的 凸 函 数 .

      • , 方 程 只 有 唯 一 的解​

        此时而 ,从而

      • 存在一个使得 ,断言，必定取值为,为 此 只 需 证 明 是方程的最小解.

        数学归纳法，\pi=\sum_{j=0}^\infty\pi^jp_j\geq\pi^0p_0=p_0=P{X_1=0}

        假设 ,则

        从而对一切, 群体最终灭绝,故这就证明了在这种情况下取值应为

        容易看出.此时,因此等价关系成立

  3. 在实际应用中，考虑一个群体的真实增长时，分支过程的假定在群体达到无限之前就不成立了(比如独立同分布性).但另一方面，利用分支过程研究消亡现象是有意义的，因为一般灭绝常常发生在过程的早期.

人口结构变化的Markov链模型

考虑社会的教育水平与文化程度的发展变化，可以建立如下模型：

将全国所有16岁以上的人口分为文盲、初中、高中(含中专)、大学(含大专)、中级技术人才、高级技术人才、特级专家等7类，结构的变化为升级、退化(如，初中文化者会重新变为文盲)、进入 (年龄达到16岁或移民进入)迁出(死亡或移民国外).

用表示在年各等级的人数;

为 全 社 会 16岁 以 上 人 口 总 数 (简 称 为 总 人 数 );

以记每年从级转为级的人数在级人数中的百分比，则

是一个准转移矩阵(每行所有元素之和

再考虑进入与迁出，记为每年从级迁出占级总人数的比例,为每年进入级的人数占总进入人数的比例，则

记为总进入人数，为总迁出人数，则

令M(t)=N(t+1)-N(t)=R(t)-W(t).

设总人数以常数百分比增长(可以为负增长),即

于是

记,上式可改写为

由,可故写为

这是由于

特别地,当;

记

其中

则上式变为

这是一个以为转移阵的Markov链，在时刻分布满足的方程.

我们希望人口维持在比较合理的稳定水平,文盲不太多，专家也不太多，并且从现在的出发，通过控制人口进入各级的比例来尽快地达到这个稳定水平.为此我们讨论一下在不同的r下全部可能的稳定结构.由于

即

其 中

当数时\mathbf{r=aI-Q+(w_j\delta_{ij})^{-1}}即

因 为 要 求 . 从而,这 样 对 于

找出使其满足

从而对于此是一个稳定的结构.

Yule 过程

设群体中各个生物体的繁殖是相互独立，强度为的Poisson过程，并且群体中没有死亡，此过程称为Yule过程，也叫纯生过程;

设在时刻0群体中有1个个体，则群体将有的个体数是 ;

以记群体数目从增加到所需的时间，由Yule过程定义，当群体数目为时，这个个体是以相互独立的Poisson过程来产生后代的;

由Poisson过程的可加性知，这相当于一个强度为的Poisson过程；由Poisson过程的平稳独立增量性，易知与状态的转移是独立的 ,并且是相互独立且服从参数为的指数分布;

这就说明了Yule过程是一个连续时间Markov链。

生灭过程

设马尔可夫链,状态空间,若转移概率矩阵满足：当充分小时，

则称该过程为生灭过程.

根据生灭过程的定义，当充分小时，状态的转移只有三种可能： 这个特性是许多生物群体，例子裂变,信号计数等的共同特点，因而可以作为这一类为物理自然现象的数学模型。

生灭过程的矩阵是保守的：

若为生灭过程，则满足Kolmogorov微分方程

  1. 向后方程

  2. 向前方程

设是Markov链到达状态后，离开该状态前的停留时间.

对于生灭过程，服从参数为的指数分布，并且其在## 各个状态的停留时间相互独立. 定义,

是Markov链的第次转移时刻.

设 , 则​是 离 散 时 间 Markov链，其一步转移概率矩阵K：

其中

生灭过程描述的情况如下：已知时刻时有个生物时，再等待后，以概率增加一个生物，或者以概率减少一个生物. 这里Ехр

M/M/S排队系统

顾客的来到是参数为λ的Poisson过程。服务员数为个，每个顾客接受服务的时间服从参数为的指数分布。遵循先来先服务、 服务员没有|空闲就排队的原则，以记时刻系统中的总人数， 则是一个生灭过程(来到看作出生，离去看作死亡)。若以分别记系统中有个顾客时的来到率和离去率。则来到率是恒定参数为的Poisson过程;离去过程的参数会发生变化：