集合论

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集合基础

集合（set）由指定范围内的某些特定对象聚集在一起构成;

指定范围内的每一个对象称为这个集合的元素(element)。

通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素;

集合的三大特征：互异性，确定性，无序性；

描述集合的方法：

  • 枚举法：$A＝{a，b，c，d}$
  • 隐式法（叙述法）:$P＝{x|P(x)}$
  • 归纳法 : 基础+归纳+极小性(指出集合的界限)；
  • 递归指定：通过计算规则定义集合中的元素
  • 文氏图：一般用平面上的圆形或方形表示一个集合，而集合中的元素用小圆点来表示。

集合和元素的关系

  • $a$属于集合$A$，记为$a\in A$;
  • $a$不属于集合$A$，记为$a\in A$;

不含任何元素的集合称作空集，记作$\varnothing$​;

外延性原理：$A＝B$当且仅当$A$与$B$具有相同的元素，否则，$A\neq B$​。

集合和集合的关系：

  • 包含关系$B\subseteq A$：$B\subseteq A$对任意$x$，如$x\in B$，则$x\in A$;
  • 相等：$B\subseteq A， B\subseteq A \iff A=B$
  • 真包含关系$B\subset A$：对任意$x$，如$x\in B$，则$x\in A$,并且，$\exist y\in A$，但是$y\notin B$

空集是一切集合的子集,是绝对唯一的；

全集是指在一个相对固定的范围内，包含此范围内所有元素的集合，是相对唯一的，

基数：集合$A$中元素的数目称为集合$A$的基数（base number)，记为$|A|$​;

根据基数是否有限可以将集合分为有限集和无限集；

把$A$的所有不同子集构成的集合叫做$A$的幂集(power set)，记为$P(A)$或$2^A$;其符号化表示为
$$
P(A)＝{x|x\subset A}
$$
设$A，B$是两个集合，若在$A，B$之间存在一一映射的关系：
$$
ψ：A→B
$$
则称$A$与$B$是等势的(equipotential)，记为：$A\sim B$

凡是与自然数集合等势的集合，统称为可数集合,基数记作$\aleph_0$；

  • 有理数集合必是可数集合;
  • 两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数；
  • 有限集合不和其任何真子集等势；
  • 可数集合可以和其可数的真子集等势。

开区间$(0,1)$称为不可数集合,基数记作$\aleph$​;

  • 凡是与开区间(0,1)等势的集合都是不可数集合;
  • $\R$是一个不可数集合

集合恒等式

  1. 等幂律:$A∪A=A；A∩A=A$；

  2. 交换律:$A∪A=A∪A;A∩A=A∩A$

  3. 结合律:$A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A∩(B∩C)=(A∩B)∩C$；

  4. 恒等律:$A∪\varnothing =A； A∩U=A$；

  5. 零律:$A∪U=U； A∩\varnothing=\varnothing$；

  6. 分配律:$A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)$

  7. 吸收律:$A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A$；

  8. $A - A = Φ$；

  9. $A - B = A - (A∩B)$；

  10. $(A - B) - C = A - (B∪C)$；

  11. $A∪(B-A) = A∪B$；

  12. $A - B =A∩\overline{B}$ ；

  13. 否定律：$\overline {\overline A} = A$ ；

  14. DeMorgan律：$\overline{A \cup B}=\overline A \cap \overline B, \overline{A \cap B}=\overline A \cup \overline B$；

  15. 矛盾律： $A∩\overline{A}＝\varnothing$；

  16. 排中律：$A∪ \overline{A} ＝U$。