群论

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群

若称$G$为一个群，如果非空集合$G$定义了二元运算「$\cdot$」,满足：

  • 结合律：$\forall a,b,c\in G, ( a· b) · c = a·( b· c) $;
  • 存在幺元：$\exist e\in G, e· a = a· e = a;$
  • 存在逆元：$a^{-1} · a = a· a^{- 1} = e$​;

Abel群

进一步，若称$G$为Abel群，如果$G$还满足交换律,否则为非交换群；

  • 交换律：$\forall a,b\in G, a· b = b· a $

将$G$中的运算记作「$+$」,有如下性质：

  • 存在零；
  • 存在负元素；

显然，全体整数$\mathbb Z$对于加法构成交换群；

阶

称$G$为有限群，如果群$G$包含元素个数有限，元素个数称为群$G$的阶；

称$a$为有限阶元素，如果存在正整数$k$满足$a^k=e$，将$k$定义为$a$的阶；

若不存在这样的$k$​，则为无限阶元素；

称群$G$为周期群，如果其每一个元素都是有限阶元素；

Property

对于如果$a$ 是群$G$ 的一个$k$ 阶元素, $e$ 是$G$ 的单位元素

  • $a^l=e,k|l$;
  • $a^l = a^m,k|l-m$;
  • 若$a$是无限阶元素，对于$a^l = a^m$,必有$k=m$;

置换群

设$M$是一个非空集合，$M$到自身的双射的全体对于复合运算构成群，称作$M$的全置换群$S(M)$；

若$|M|=n$,则$S(M)$称为$n$级对称群；

$S(M)$中的元素称作$M$的一个置换$\sigma$；

  • $|S(M)|=n!$;

简便起见，$M={1,2,\cdots,n},i_1,i_2,\cdots ,i_t\in M$,称置换$\sigma$是一个长度为$t$的轮换，如果：
$$
\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\cdots,\sigma(i_t)=i_1
$$
对于不是$i_1,i_2,\cdots ,i_t$的其他元素$i$而言，均有$\sigma(i)=i$;

长度为2的轮换又称为对换；

对于不相交的轮换$\tau,\sigma$，满足交换律$\tau\sigma=\sigma\tau$

Theorem

对称群$S_n$中任意不等于幺元的元素都可以唯一分解为不相交的轮换的乘积；

proof:考虑取$i_1$使得$\sigma(i_1)\neq i_1$,存在最小的$t$使得$\sigma^t(i_1)=i_1$,记$I={i_1,\sigma(i_1),..,\sigma^{t-1}(i_1)}$;

取轮换$\tau$为$\sigma$限制在$I$;考虑$[n]/I$的元素，若在$\sigma$下不动，则说明$\sigma$是单个轮换；

否则取$[n]/I$的发生变动的元素$i_2\neq i_1$,重复分解即可；

Corollary

  1. 任意置换可以分解为对换的乘积;
  2. 任意给定的置换分解为对换乘积时出现的对换个数奇偶性不变；

子群，陪集

对于群$G$的非空子集$H$，称$H$为$G$的子群，若$H$在$G$的运算下构成群；

  • 记作$H\le G$

定义$G$的子集$H,K$的子集的积
$$
HK={hk|h\in H,k\in K}
$$

Theorem

设$G$是群，$H\subseteq G,H\neq\varnothing$;下三个命题等价；

  • $H\le G$
  • $H^2 \sube {H}, H^{-1}\sube H$;
  • $HH^{-1}\sube H$

事实上，若$H\le G$,则$H^2=H,H^{-1}=H$

  • ${e}$为$G$的平凡子群；
  • 若干子群的交仍为子群；

生成子群

对群$G$，$M\sube G$,称由$M$生成的子群$$为所有包含$M$的子群的交；

  • $={e,a_1…a_n|a_i\in M\cup M^{-1},n=1,2…}$