代数系统

Posted on 2025-05-01

代数系统

运算

一般地，对于非空集合$A_1,A_2,…,A_n,A$,$n$元运算是指映射$f:A_1\times A_2\times…\times A_n\to A$;

运算的封闭性：对于$A_1\times A_2\times…\times A_n$到$A$的$n$元运算中，对集合$A$的任意两个元素运算后的结果仍属于$A$

代数系统

对非空集合$A$，$*_i$是定义在$A$上的$k_i$元封闭代数运算$(1\le i\le m)$;

定义代数系统为$<A,*_1,…,*_m>$;

对于同类型的代数系统当且仅当所有运算的目数相同；

称$<B,*_1,…,*_m>$是$<A,*_1,…,*_m>$的子代数，如果

$B\sube A,B\neq \varnothing$
$_1,…,_B$是$B$上的封闭运算；

二元运算律

结合律

对于二元代数系统$<A,>$,如果$\forall a,b,c\in A$有$(ab)c=a(bc)$,称$$在$A$上满足结合律；

交换律

对于二元代数系统$<A,>$,如果$\forall a,b\in A$有$ab=ba$,称$$在$A$上满足交换律；

消去律

对于二元代数系统$<A,*>,a\in A$

对$\forall x,y\in A$,若$ax=ay\iff x=y$,那么称$a$为左可消去元；
对$\forall x,y\in A$,若$xa=ya\iff x=y$,那么称$a$为右可消去元；
称$a$是可消去元，如果$a$既是左可消去的又是右可消去的；
若$A$中所有的元素都是可消去元，称$*$满足消去律；

幂等律

对于二元代数系统$<A,>,a\in A$，若$aa=a$，称$a$是$A$关于$*$的一个幂等元；

若$A$中每一个元素都是幂等的，称$*$满足幂等律；

分配律

对于代数系统$<A,*,\circ>$;对$\forall a,b,c\in A$

称$$对$\circ$左分配，如果$a(b\circ c)=(a\circ b)\circ(a\circ c)$
称$*$对$\circ$右分配，如果$(b\circ c)*a=(b\circ a)\circ(c\circ a)$
称$*$对$\circ$满足分配律，如果既满足左分配律又满足右分配律；

吸收律

对代数系统$<A,*,\circ>$,如果对$\forall x,y\in A$有

$x*(x\circ y)=x$
$x\circ(x*y)=x$

称$*$和$\circ$满足吸收律；

特殊元素

幺元

对于二元代数系统$<A,*>$

若存在$e_l\in A$,对$\forall a\in A$,有$e_la=a$,称$e_l$为运算$$的左幺元；
若存在$e_r\in A$,对$\forall a\in A$,有$ae_r=a$,称$e_r$为运算$$的右幺元；
幺元既是左幺元，又是右幺元；

零元

对于二元代数系统$<A,*>$

若存在$e_l\in A$,对$\forall a\in A$,有$e_la=e_l$,称$e_l$为运算$$的左零元；
若存在$e_r\in A$,对$\forall a\in A$,有$ae_r=e_r$,称$e_r$为运算$$的右零元；
零元既是左零元，又是右零元；

逆元

对于存在幺元$e$的代数系统$<a,*>$,对于$\forall a\in A$

若$\exist b\in A$,使得$b*a=e$,称$a$左可逆，$b$是$a$的一个左逆元，记作$a_l^{-1}$
若$\exist b\in A$,使得$a*b=e$,称$a$右可逆，$b$是$a$的一个右逆元，记作$a_r^{-1}$
逆元既是左逆元，又是右逆元；

关系代数系统

对于关系集$\mathscr R$,额外定义如下运算(除开常规的交，并，差)

笛卡尔积
$$
R \times S = {<t_r,t_s>|t_r\in R \wedge t_s\in S}
$$
选择运算
$$
\sigma_F(R)={t|t\in R,F(R)=true}
$$
投影运算
$$
\Pi_A(R)={ t[A]|t\in R}, A \subseteq R
$$

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